Multiples, diviseurs et nombres premiers
Seconde Générale et Technologique
A-01

Introduction

Les entiers

Les entiers naturels sont les nombres entiers positifs ou nuls. L'ensemble des entiers naturels est noté $\mathbb{N}$.
$\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\ldots\}$
Les entiers relatifs sont les nombres entiers positifs, négatifs ou nuls. L'ensemble des entiers relatifs est noté $\mathbb{Z}$.
$\mathbb{Z} = \{\ldots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \ldots\}$
En l'absence de précision un entier est un entier relatif.
Montrez la nature de chaque nombre (entier positif, négatif ou non entier) :
  1. l'opposé de $-7$
  2. l'inverse de $4$
  3. l'inverse de $\frac{2}{3}$
  4. l'inverse de $-\frac{1}{5}$
  1. $(-6)\times (-2)$
  2. $7-8$
  3. $\dfrac{6}{2}$
  4. $\dfrac{-12}{3}$
  1. $7\times \dfrac{1}{7}$
  2. $\dfrac{-100}{-10}$
  3. $10^6$
  4. $10^{-1}$
  1. $\sqrt{25}$
  2. $\sqrt{50}$
  3. $(-3)^2$
  4. $(-2)^3$

  1. l'opposé de $-7$ est $7$, un entier positif.

  2. l'inverse de $4$ est $\frac{1}{4}$ $$0 \lt \frac{1}{4} \lt 1$$ Donc $\frac{1}{4}$ n'est pas un entier.

  3. l'inverse de $\frac{2}{3}$ est $\frac{3}{2}$ $$1 \lt \frac{3}{2} \lt 2$$ Donc $\frac{3}{2}$ n'est pas un entier.

  4. l'inverse de $-\frac{1}{5}$ est $-5$, un entier négatif.

  5. $-6\times (-2) = 12$, un entier positif.

  6. $7-8 = -1$, un entier négatif.

  7. $\dfrac{6}{2} = 3$, un entier positif.

  8. $\dfrac{-12}{3} = -4$, un entier négatif.

  9. $7\times \dfrac{1}{7} = 1$, un entier positif.

  10. $\dfrac{-100}{-10} = 10$, un entier positif.

  11. $10^6 = \num{1000000}$, un entier positif.

  12. $10^{-1} = \frac{1}{10}$ $$0 \lt \frac{1}{10} \lt 1$$ Donc $\frac{1}{10}$ n'est pas un entier.

  13. $\sqrt{25} = 5$, un entier positif.

  14. $\sqrt{49} = 7$ et $\sqrt{64} = 8$ donc $\sqrt{50}$ est compris entre 7 et 8, ce n'est pas un entier.

  15. $(-3)^2 = 9$, un entier positif.

  16. $(-2)^3 = -8$, un entier négatif.

Multiples, diviseurs

Soit $a$ et $b$ deux entiers. On dit que $a$ est un multiple de $b$ ou que $a$ est divisible par $b$ s'il existe un entier $k$ tel que $a = b \times k$. On dit alors que $b$ est un diviseur de $a$ ou que $b$ divise $a$.
Construisez quatre phrases équivalentes utilisant le vocabulaire (multiple, diviseur, divisible, divise) :
  1. $-21$ et $7$.
  2. $8$ et $72$.
  3. $-3$ et $-9$.
  4. $350$ et $-5$.
  5. $-6$ et $18$.
  6. $24$ et $12$.

  1. $-21$ est un multiple de $7$.

    $-21$ est divisible par $7$.

    2. $7$ divise $-21$.

    $7$ est un diviseur de $-21$.

  2. $8$ est un diviseur de $72$.

    $72$ est un multiple de $8$.

    $72$ est divisible par $8$.

    $8$ divise $72$.

  3. $-3$ est un diviseur de $-9$.

    $-9$ est un multiple de $-3$.

    $-9$ est divisible par $-3$.

    $-3$ divise $-9$.

  4. $350$ est un multiple de $-5$.

    $350$ est divisible par $-5$.

    $-5$ divise $350$.

    $-5$ est un diviseur de $350$.

  5. $-6$ est un multiple de $18$.

    $-6$ est divisible par $18$.

    $18$ divise $-6$.

    $18$ est un diviseur de $-6$.

  6. $24$ est un multiple de $12$.

    $24$ est divisible par $12$.

    $12$ divise $24$.

    $12$ est un diviseur de $24$.

Traduisez la phrase sous la forme d'une égalité en utilisant l'existence d'un entier $k$ :
  1. $420$ est un multiple de $12$.
  2. $-15$ divise $-240$.
  3. $7$ est un diviseur de $931$.
  4. $209$ est divisible par $11$.

  1. $420$ est un multiple de $12$.

    Il existe un entier $k$ tel que $420 = 12 \times k$.

  2. $-15$ divise $-240$.

    Il existe un entier $k$ tel que $-240 = -15 \times k$.

  3. $7$ est un diviseur de $931$.

    Il existe un entier $k$ tel que $931 = 7 \times k$.

  4. $209$ est divisible par $11$.

    Il existe un entier $k$ tel que $204 = 11 \times k$.

Traduisez quatre fois par une phrase utilisant le vocabulaire (multiple, diviseur, divisible, divise) :
  1. $37 \times 12 = 444$
  2. $-272=-17 \times 16$
  3. $\frac{2944}{32}=92$
  4. $-24=\frac{432}{-18}$

  1. $37 \times 12 = 444$

    Plusieurs affirmations sont possibles :

    • $37$ est un diviseur de $444$.
    • $37$ divise $444$.
    • $444$ est un multiple de $37$.
    • $444$ est divisible par $37$.
    • $12$ est un diviseur de $444$.
    • $12$ divise $444$.
    • $444$ est un multiple de $12$.
    • $444$ est divisible par $12$.

  2. $-272=-17 \times 16$

    Plusieurs affirmations sont possibles :

    • $-17$ est un diviseur de $-272$.
    • $-17$ divise $-272$.
    • $-272$ est un multiple de $-17$.
    • $-272$ est divisible par $-17$.
    • $16$ est un diviseur de $-272$.
    • $16$ divise $-272$.
    • $-272$ est un multiple de $16$.
    • $-272$ est divisible par $16$.

  3. $\frac{2944}{32}=92$

    Plusieurs affirmations sont possibles :

    • $32$ est un diviseur de $2944$.
    • $32$ divise $2944$.
    • $2944$ est un multiple de $32$.
    • $2944$ est divisible par $32$.
    • $92$ est un diviseur de $2944$.
    • $92$ divise $2944$.
    • $2944$ est un multiple de $92$.
    • $2944$ est divisible par $92$.

  4. $-24=\frac{432}{-18}$

    Plusieurs affirmations sont possibles :

    • $-18$ est un diviseur de $432$.
    • $-18$ divise $432$.
    • $432$ est un multiple de $-18$.
    • $432$ est divisible par $-18$.
    • $-24$ est un diviseur de $432$.
    • $-24$ divise $432$.
    • $432$ est un multiple de $-24$.
    • $432$ est divisible par $-24$.

$a$ est un entier. Démontrez que la somme de deux multiples de $a$ est un multiple de $a$.

Soit $a$ un entier.

Soient $m$ et $n$ deux multiples de $a$.

Il existe deux entiers $k$ et $k'$ tels que $m=ak$ et $n=ak'$.

$$ \begin{align*} m+n&=ak+ak'\\ m+n&=a(k+k') \end{align*} $$

$k+k'$ est un entier donc $m+n$ est un multiple de $a$.

Démontrez que la somme de trois entiers consécutifs est un multiple de $3$.

Considérons trois entiers consécutifs.

1re méthode

Notons $n$ le deuxième entier.

Le premier entier est $n-1$ et le troisième entier est $n+1$.

La somme de ces trois entiers est $$n-1+n+n+1=3n$$ qui est un multiple de $3$.

2e méthode

Notons $n$ le premier entier.

Le deuxième entier est $n+1$ et le troisième entier est $n+2$.

La somme de ces trois entiers est $$n+n+1+n+2=3n+3=3(n+1)$$ qui est un multiple de $3$.

Un nombre est divisible par $3$ (respectivement par $9$) si et seulement si la somme de ses chiffres est un multiple de $3$ (respectivement de $9$).
Déterminez si les nombres suivants sont des multiples de $2$, de $3$, de $5$, de $9$ :
  1. $123$
  2. $456$
  3. $\num{2895}$
  4. $\num{101112}$
  5. $\num{131418}$
  6. $\num{161718}$

  1. La somme des chiffres de $123$ est $1+2+3=6$ qui est un multiple de $3$. Donc $123$ est un multiple de $3$.

    Le chiffre des unités de $123$ est impair donc $123$ n'est pas un multiple de $2$.

    La somme des chiffres de $123$ n'est pas un multiple de $9$. Donc $123$ n'est pas un multiple de $9$.

    Le chiffre des unités de $123$ n'est ni $0$ ni $5$ donc $123$ n'est pas un multiple de $5$.

  2. La somme des chiffres de $456$ est $4+5+6=15$ qui est un multiple de $3$. Donc $456$ est un multiple de $3$.

    Le chiffre des unités de $456$ est pair donc $456$ est un multiple de $2$.

    La somme des chiffres de $456$ n'est pas un multiple de $9$. Donc $456$ n'est pas un multiple de $9$.

    Le chiffre des unités de $456$ n'est ni $0$ ni $5$ donc $456$ n'est pas un multiple de $5$.

  3. La somme des chiffres de $2895$ est $2+5+8+9=24$ qui est un multiple de $3$. Donc $2895$ est un multiple de $3$.

    Le chiffre des unités de $2895$ est impair donc $2895$ n'est pas un multiple de $2$.

    La somme des chiffres de $2895$ n'est pas un multiple de $9$. Donc $2895$ n'est pas un multiple de $9$.

    Le chiffre des unités de $2895$ est un multiple de $5$ donc $2895$ est un multiple de $5$.

  4. La somme des chiffres de $101112$ est $1+0+1+1+1+2=6$ qui est un multiple de $3$. Donc $101112$ est un multiple de $3$.

    Le chiffre des unités de $101112$ est pair donc $101112$ est un multiple de $2$.

    La somme des chiffres de $101112$ n'est pas un multiple de $9$. Donc $101112$ n'est pas un multiple de $9$.

    Le chiffre des unités de $101112$ n'est ni $0$ ni $5$ donc $101112$ n'est pas un multiple de $5$.

  5. La somme des chiffres de $131418$ est $1+3+1+4+1+8=18$ qui est un multiple de $3$. Donc $131418$ est un multiple de $3$.

    Le chiffre des unités de $131418$ est pair donc $131418$ est un multiple de $2$.

    La somme des chiffres de $131418$ est un multiple de $9$. Donc $131418$ est un multiple de $9$.

    Le chiffre des unités de $131418$ n'est ni $0$ ni $5$ donc $131418$ n'est pas un multiple de $5$.

  6. La somme des chiffres de $161718$ est $1+6+1+7+1+8=24$ qui est un multiple de $3$. Donc $161718$ est un multiple de $3$.

    Le chiffre des unités de $161718$ est pair donc $161718$ est un multiple de $2$.

    La somme des chiffres de $161718$ n'est pas un multiple de $9$. Donc $161718$ n'est pas un multiple de $9$.

    Le chiffre des unités de $161718$ n'est ni $0$ ni $5$ donc $161718$ n'est pas un multiple de $5$.

Un nombre est pair si et seulement s'il existe un entier $k$ tel que $n=2k$. Un nombre est impair si et seulement s'il existe un entier $k$ tel que $n=2k+1$.
Montrez la parité des nombres suivants sachant que $n$ est un entier :
  1. $2n+6$
  2. $2n+9$
  3. $-12n$
  4. $4n^2+2n+1$
  5. $6n^2-8$
  6. $2n-5$

  1. $2n+6=2(n+3)$ est pair.

  2. $2n+9=2(n+4)+1$ est impair.

  3. $-12n=2\times(-6n)$ est pair.

  4. $4n^2+2n+1=2(2n^2+n)+1$ est impair.

  5. $6n^2-8=2(3n^2-4)$ est pair.

  6. $2n-5=2(n-2)+1$ est impair.

Démontrez les propriétés suivantes :
  1. Le carré de tout entier impair est impair.
  2. La somme de deux entiers impairs est paire.
  3. Le produit de deux entiers impairs est impair.

  1. Soit $n$ un entier impair.

    Il existe un entier $k$ tel que $n=2k+1$.

    $$ \begin{align*} n^2 & = (2k+1)^2 \\ & = 4k^2+4k+1 \\ & = 2(2k^2+2k)+1 \end{align*} $$

    $2k^2+2k$ est un entier donc $n^2$ est impair.

    Donc le carré de tout entier impair est impair.

  2. Soient $n$ et $m$ deux entiers impairs.

    Il existe deux entiers $k$ et $k'$ tels que $n=2k+1$ et $m=2k'+1$.

    $$ \begin{align*} n+m & = (2k+1)+(2k'+1) \\ & = 2(k+k')+2 \\ & = 2(k+k'+1) \end{align*} $$

    $k+k'+1$ est un entier donc $n+m$ est pair.

  3. Soient $n$ et $m$ deux entiers impairs.

    Il existe deux entiers $k$ et $k'$ tels que $n=2k+1$ et $m=2k'+1$.

    $$ \begin{align*} n\times m & = (2k+1)\times (2k'+1) \\ & = 4kk'+2k+2k'+1 \\ & = 2(2kk'+k+k')+1 \end{align*} $$

    $2kk'+k+k'$ est un entier donc $n\times m$ est impair.

Raisonnements

Le raisonnement par disjonction des cas consiste à envisager toutes les possibilités pour un problème donné.
Démontrez que $n(n+1)$ est pair pour tout entier $n$ en utilisant un raisonnement par disjonction des cas.

Soit $n$ un entier. On distingue deux cas :

  • Si $n$ est pair, alors il existe un entier $k$ tel que $n=2k$.

    Donc $n(n+1)=2k(2k+1)=2\times k(2k+1)$ est pair.

  • Si $n$ est impair, alors $n+1$ est pair et il existe un entier $k$ tel que $n+1=2k$.

    Donc $n(n+1)=n(2k)=2\times kn$ est pair.

    Autre solution :

    Si $n$ est impair, alors il existe une entier $k$ tel que $n=2k+1$.

    $$ \begin{align*} n(n+1)&=n(2k+1+1)\\ n(n+1)&=n(2k+2)\\ n(n+1)&=n\times2(k+1)\\ n(n+1)&=2\times n(k+1) \end{align*} $$

    Donc $n(n+1)$ est pair.

Donc $n(n+1)$ est pair pour tout entier $n$.

On appelle contre-exemple d'une proposition un exemple qui montre que la proposition est fausse.
Donnez trois contre-exemples pour chaque proposition fausse suivante :
  1. Si $n$ est un multiple de $3$, alors $n$ est un multiple de $9$.
  2. Si $k$ est un entier, alors $3k+1$ est impair.
  3. Si un nombre est divisible par $2$ et par $4$, alors il est divisible par $8$.

  1. Le nombre $6$ est un multiple de $3$ mais n'est pas un multiple de $9$.

    Le nombre $12$ est un multiple de $3$ mais n'est pas un multiple de $9$.

    Le nombre $15$ est un multiple de $3$ mais n'est pas un multiple de $9$.

  2. Si $k=1$, alors $3k+1=4$ est pair.

    Si $k=3$, alors $3k+1=10$ est pair.

    Si $k=5$, alors $3k+1=16$ est pair.

  3. Le nombre $4$ est divisible par $2$ et par $4$ mais n'est pas divisible par $8$.

    Le nombre $12$ est divisible par $2$ et par $4$ mais n'est pas divisible par $8$.

    Le nombre $20$ est divisible par $2$ et par $4$ mais n'est pas divisible par $8$.

La proposition réciproque d'une proposition donnée est la proposition obtenue en échangeant l'hypothèse avec la conclusion.
Indiquez si les propositions sont vraies ou fausses et si les propositions réciproques sont vraies ou fausses :
  1. Si un nombre est divisible par $5$, alors il est divisible par $10$.
  2. Si un nombre est divisible par $6$, alors il est divisible par $3$ et par $2$.
  3. Si un nombre est divisible par $12$, alors il est divisible par $6$ et par $2$.

  1. La proposition est fausse car par exemple $5$ est divisible par $5$ mais n'est pas divisible par $10$.

    La proposition réciproque est « Si un nombre est divisible par $10$, alors il est divisible par $5$ ».

    La proposition réciproque est vraie.

  2. La propriété est vraie.

    La proposition réciproque est « Si un nombre est divisible par $3$ et par $2$, alors il est divisible par $6$ ».

    La proposition réciproque est vraie.

  3. La proposition est vraie.

    La proposition réciproque est « Si un nombre est divisible par $6$ et par $2$, alors il est divisible par $12$ ».

    La proposition réciproque est fausse car par exemple $6$ est divisible par $6$ et par $2$ mais n'est pas divisible par $12$.

Le raisonnement par l'absurde consiste à supposer fausse une proposition et à en déduire une contradiction.
Soit $n$ est un entier tel que $n^2$ est pair. Démontrez par l'absurde que $n$ est pair.

$n$ est un entier tel que $n^2$ est pair.

Supposons par l'absurde que $n$ n'est pas pair, donc $n$ est impair.

Il existe alors un entier $k$ tel que $n=2k+1$.

$$ \begin{align*} n^2 & = (2k+1)^2 \\ n^2 & = 4k^2+4k+1 \\ n^2 & = 2(2k^2+2k)+1 \end{align*} $$

On en déduit que $n^2$ est impair ce qui est une contradiction avec l'hypothèse de départ.

Donc si $n$ est un entier tel que $n^2$ est pair, alors $n$ est forcément pair.